Kosinussatz

[00:00.50] C² = a² + b² - 2ab*cos(γ)
[00:10.95] B² = a² + c² - 2ac*cos(β)
[00:21.15] Und a² = b² + c² - 2bc*cos(α)
[00:42.85] Dieser Satz gilt im allgemeinen Dreieck
[00:45.47] Wenn die Winkel α, β, γ und die Seiten a, b und c heißen
[00:48.27] Und gilt's mit a, b und c
[00:50.85] Dann geht das Ganze doch genau so auch mit c, a und b
[00:52.88] Denn du kannst die Seitennamen tauschen
[00:55.17] Doch das Dreieck bleibt gleich
[00:56.09] Und daher sind drei Gleichungen als Kosinussatz eins
[00:59.44] Wie auch immer - hast du mal ein Dreieck vor dir gegeben
[01:02.24] Nach Kongruenzsatz SSS, durch die drei Seitenlängen eben
[01:03.99] Dann kannst du durch den Kosinussatz auf einen Winkel kommen
[01:06.27] Denn hoffentlich hast du mittlerweile mitbekommen
[01:08.83] Dass der Satz die Relation
[01:10.58] Zwischen 'nem Winkel und drei Seiten beschreibt
[01:13.73] Und damit bist du auch schon bereit
[01:14.97] Die drei Seitenlängen kennst du, setzt sie in die Gleichung ein
[01:17.20] Und schon fehlt nur noch der Winkel - so soll das ja auch sein
[01:19.88] Nach dem stellst du dann um und hast ihn damit gefunden
[01:21.83] Und mit etwas Übung schaffst du das in wenigen Sekunden
[01:25.26] C² = a² + b² - 2ab*cos(γ)
[01:36.17] B² = a² + c² - 2ac*cos(β)
[01:46.51] Und a² = b² + c² - 2bc*cos(α)
[02:08.89] Ich hoffe mal, es ist jedem klar
[02:10.53] Dass durch die Höhe über der Seite a
[02:12.83] Das Dreieck geteilt wird und rechte Winkel entstehen
[02:15.48] Von daher kann ich den Satz des Pythagoras nehmen
[02:18.52] B²=h²+x² und c²=h²+(a-x)²
[02:23.64] Das stellen wir beides nach h² um und setzen gleich
[02:26.54] (Aber fehlt da nicht der Kosinus?) Kommt ja gleich, ich weiß
[02:29.43] Aber erst mal wird hier (a-x)² addiert
[02:32.30] Und mit Binomischen Formeln a-x noch quadriert
[02:34.59] Das diente einem Zweck: Das x² fällt weg
[02:37.10] Und wie der Kosinus da rein kommt, folgt nun direkt: (Ah!)
[02:40.27] Wenn ich hier das eine Teildreieck so seh'
[02:42.56] Dann ist der Kosinus von Gamma x durch b
[02:44.74] Das heißt: x=cos(γ)*b
[02:47.94] Das setz' ich ein und hab hier nur noch γ, a, b und c
[02:50.25] C² = a² + b² - 2ab*cos(γ)
[03:00.82] B² = a² + c² - 2ac*cos(β)
[03:11.78] Und a² = b² + c² - 2bc*cos(α)
[03:29.48]