Partielle Integration

[00:12.34] Während du beim Ableiten fast immer eine Regel hast, die passt
[00:16.09] Gibt es beim Integrieren keine Methoden, mit denen du alles schaffst
[00:20.17] Klar, wenn man sich eine Summe anguckt
[00:22.29] Dann ist das ziemlich einfach, doch anders ist es bei einem Produkt
[00:26.19] Hier gibt es keine Regel, wie das allgemein geht
[00:29.10] Doch eine Umformung, bei der ein anderes Integral hier steht
[00:32.73] Und manchmal hilft das weiter und man ist damit froh
[00:36.58] Und das Ganze geht so
[00:38.76] Du suchst dir von einer der Funktionen eine Stammfunktion
[00:42.86] Und bildest das Produkt mit der anderen Funktion
[00:46.11] Minus das Integral von der Stammfunktion
[00:49.25] Mal die Ableitung der anderen Funktion
[00:53.82] Und löst du jetzt mal
[00:57.37] Dieses Integral
[00:59.61] Dann hast du es bis zum Ergebnis geschafft
[01:02.35] Und damit
[01:03.09] Partielle Integration gemacht
[01:05.14] Du suchst dir von einer der Funktionen eine Stammfunktion
[01:09.39] Und bildest das Produkt mit der anderen Funktion
[01:12.45] Minus das Integral von der Stammfunktion
[01:15.76] Mal die Ableitung der anderen Funktion
[01:20.01] Und löst du jetzt mal
[01:23.68] Dieses Integral
[01:26.17] Dann hast du es bis zum Ergebnis geschafft
[01:28.79] Und damit
[01:29.41] Partielle Integration gemacht
[01:32.91] Wie du siehst, steht in dem neuen Integral
[01:35.42] Je einmal Stammfunktion und Ableitung und du hast die freie Wahl
[01:38.80] Welchen der beiden Faktoren du jeweils differenzierst und integrierst
[01:42.77] Vielleicht merkst du, was gut geht, indem du rumprobierst
[01:45.62] Es bietet sich beispielsweise an, Polynome zu differenzieren
[01:49.23] Und Kosinus, Sinus und e hoch x sind gut zum Integrieren
[01:52.66] Es braucht halt Übung bis du dein Vorgehen weißt
[01:55.10] Zum Beispiel hier rechnest du plötzlich mal eins und
[01:58.21] Du suchst dir von einer der Funktionen eine Stammfunktion
[02:02.35] Und bildest das Produkt mit der anderen Funktion
[02:05.61] Minus das Integral von der Stammfunktion
[02:08.44] Mal die Ableitung der anderen Funktion
[02:13.32] Und löst du jetzt mal
[02:16.37] Dieses Integral
[02:19.02] Dann hast du es bis zum Ergebnis geschafft
[02:21.64] Und damit
[02:22.43] Partielle Integration gemacht
[02:24.84] Du suchst dir von einer der Funktionen eine Stammfunktion
[02:28.81] Und bildest das Produkt mit der anderen Funktion
[02:31.94] Minus das Integral von der Stammfunktion
[02:35.19] Mal die Ableitung der anderen Funktion
[02:39.31] Du siehst dieses Mal
[02:41.88] Hier wieder das gleiche Integral
[02:45.39] Da stellst du das um und hast es geschafft
[02:48.25] Und damit
[02:49.04] Partielle Integration gemacht
[02:52.09] Nimm dir mal das Produkt groß F mal klein g
[02:54.75] Und differenziere jetzt diese Funktion, ok
[02:58.11] Löst du die Ableitung jetzt durch ein Integral wieder auf
[03:01.20] Dann kommt da bis auf eine Konstante die Funktion wieder raus
[03:04.76] Nimm für die Ableitung die Produktregel u Strich v
[03:08.32] Plus u v Strich, ganz genau
[03:11.43] Und jetzt wird das zweite Integral subtrahiert
[03:14.45] Wodurch man übrigens auch die Konstante verliert
[03:18.09] Denn die steckt ja in dem unbestimmten Integral drin
[03:21.14] Also stimmt diese Formel und jetzt schauen wir mal hin
[03:24.88] Produkt mit der Stammfunktion minus das Integral
[03:28.24] Von Stammfunktion mal Ableitung. Genial
[03:30.94] Du suchst dir von einer der Funktionen eine Stammfunktion
[03:34.99] Und bildest das Produkt mit der anderen Funktion
[03:38.20] Minus das Integral von der Stammfunktion
[03:41.05] Mal die Ableitung der anderen Funktion
[03:45.44] Und schaust du jetzt mal
[03:49.01] Auf das Integral
[03:51.94] Dann siehst du dieses mal
[03:54.17] Steht ein Produkt hier, also alles nochmal
[03:57.46] Du suchst dir von einer der Funktionen eine Stammfunktion
[04:01.35] Und bildest das Produkt mit der anderen Funktion
[04:04.71] Minus das Integral von der Stammfunktion
[04:07.77] Mal die Ableitung der anderen Funktion
[04:12.01] Und löst du jetzt mal
[04:15.59] Dieses Integral
[04:18.36] Dann hast du es bis zum Ergebnis geschafft
[04:20.59] Und damit
[04:21.58] Partielle Integration gemacht
[04:24.53]